جادوی انتگرال؛ هنگامی ریاضی مهار بوستر سوپرهوی اسپیس‌ایکس را ممکن کرد_تونل زمان

به‌پشتیبانی انتگرال می‌توانیم حرکت اجسام گوناگون را توصیف کنیم. به‌گفتن مثال، با داشتن نمودار تغییرات شدت جسم برحسب زمان، به‌راحتی می‌توانیم مسافت طی شده توسط جسم را در زمان وقتی اشکار به‌دست آوریم. یافتن گمان متغیرهای اتفاقی و مدام یکی دیگر از کاربردهای مهمِ انتگرال است. متغیرهای اتفاقیِ مدام، همانند دما، هر مقداری را می‌توانند داشته باشند. از این ویژگی می‌توانیم در حل تعداد بسیاری از مسائل آمار و گمان منفعت گیری کنیم.

در فیزیک، انتگرال در عرصه‌های بسیاری به کار می‌رود. به‌گفتن مثال، در محاسبه‌ی مرکز جرم و مرکز ثقلِ اجسام پیچیده همانند خودروها و ساختمان‌ها و به‌منظور بهینه‌سازی پایداری و توزیع وزن از انتگرال منفعت گیری می‌کنیم. این چنین، انتگرال کاربرد مهمی در مکانیک سیالات برای محاسبه‌ی جریان، سختی و حجم مایعات دارد.

انتگرال، این چنین نقش زیاد مهمی را در پیشرفت علوم کامپیوتر ایفا می‌کند. انتگرال به ما پشتیبانی می‌کند تا تغییرات مدام و تدریجی را در سیستم‌های گوناگون اندازه‌گیری و تحلیل کنیم. درنتیجه، این توانایی، انتگرال را به ابزاری قوی در حوزه‌های گوناگون کامپیوتر تبدیل کرده است.

در گرافیک کامپیوتری، به‌پشتیبانی انتگرال می‌توانیم تصاویر سه‌بعدی و نمود‌های واقع‌گرایانه‌ تشکیل کنیم. به‌گفتن مثال، برای محاسبه‌ی نور و سایه‌ها در صحنه‌ای سه‌بعدی، به محاسبه‌ی انتگرال روی سطوح گوناگون نیاز داریم. این چنین، در یادگیری ماشین، انتگرال در بهینه‌سازی مدل‌ها و یادگیری از داده‌ها نقش مهمی دارد. تعداد بسیاری از الگوریتم‌های یادگیری ماشین بر پایه محاسبه‌ی انتگرال‌ها کار می‌کنند. به‌گفتن مثال، در شبکه‌های عصبی، از انتگرال برای محاسبه‌ی اشتباه و بهینه‌سازی وزن‌های شبکه منفعت گیری می‌بشود.

تا اینجا در رابطه کاربردهای مشتق و انتگرال به‌صورت جداگانه در حوزه‌های گوناگون سخن بگویید کردیم، اما باید بدانیم این دو مبحث از یکدیگر جدا نیستند و ربط تنگاتنگی با یکدیگر دارند. این ربط تنگاتنگ را می‌توانیم در معادلات دیفرانسیل و حل آن‌ها مشاهده کنیم. به‌پشتیبانی این معادلات می‌توانیم بفهمیم طبیعت چطور کار می‌کند.

معادلات دیفرانسیل مبحثی پیچیده در ریاضیات است و به‌راحتی نمی‌توانیم همه معادلات به‌دست آمده را حل کنیم، اما حداقل اطلاعات جالبی را از آن‌ها به‌دست می‌آوریم. به‌گفتن مثال، برای به‌دست آوردن مدلی برای رشد جمعیت، حرکت سیالات، توصیف حرکت جسم بعد از داخل شدن نیرویی اشکار به آن و حرکت امواج الکترومغناطیسی، از معادلات دیفرانسیل منفعت گیری می‌کنیم.

اکنون اجازه دهید مقداری داخل جزئیات شویم و بعد از بازدید مثالی از کاربرد معادلات دیفرانسیل در زندگی واقعی، کاربرد این معادلات را زمانِ پرتاب موشک به فضا و حرکت آن در فضا به‌صورت کلی با یکدیگر بازدید کنیم.

به گمان زیادً سریال Numb3rs بین سال‌های ۲۰۰۵ تا ۲۰۱۰ را تماشا کرده باشید. در یکی از صحنه‌های سریال، مجری قانون به‌جستوجو زوجی است که زمان سفر به‌دور آمریکا، مرتکب جرم‌های بسیاری شده‌اند. پلیس FBI حرکت این زوج را روی نقشه جستوجو می‌کند، اما تا این مدت موفق به دستگیری آن‌ها نشده‌ است. در ادامه‌ی سریال، ریاضی‌دان‌ها با بازدید مسیرِ پیموده شده توسط زوجِ مجرم، به‌پشتیبانی منحنی‌ای به‌نام «منحتی تعقیب»‌ (Pursuit Curve) تلاش در پیش‌بینی مقصد آن‌ها دارند.